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\newtheorem{teo}{Teorema}
\newtheorem{prop}[teo]{Proposizione}
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\newtheorem{lemma}[teo]{Lemma}

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\newtheorem{de}[teo]{Definizione}
\newtheorem{es}[teo]{Esempio}
\newtheorem{oss}[teo]{Osservazione}
\newtheorem*{notaz}{Notazione}

%opening
\title{Il teorema di Poincaré-Hopf}
\author{Luigi Caputi}

\begin{document}

\maketitle


\begin{abstract}
Un fibrato vettoriale risulta essere isomorfo al fibrato banale se e solo se ammette un riferimento globale; in particolare affinché
ammetta un riferimento globale, devono esistere sezioni mai nulle (ad esempio un fibrato in rette è banale se e solo se ammette una sezione mai nulla).
È dunque interessante, ai fini della banalizzazione di un fibrato, cercare di capire se esistono sezioni mai nulle.
Nel corso del seminario considereremo il caso particolare del fibrato tangente, e daremo la dimostrazione di un classico risultato in topologia
differenziale, il teorema di Poincaré-Hopf, un teorema che mette in relazione le proprietà locali dei campi vettoriali con la caratteristica di Eulero-Poincaré, una proprietà 
strettamente topologica della varietà, e dà un'ostruzione all'esistenza di campi vettoriali mai nulli.
\end{abstract}

\section{Richiami e risultati utili}

Ricordiamo alcuni risultati e definizioni visti durante il corso e utili ai fini del seminario.

\begin{de}
 Sia $F\colon M\to N$ un'applicazione differenziabile tra varietà. Un punto $p\in M$ è detto \emph{punto critico} di $F$ se $\dF_p\colon T_p M
 \to T_{F(p)}N$ non è surgettivo.
 
 Un \emph{valore critico} è l'immagine di un punto critico; un \emph{valore regolare} è un punto di $F(M)$ che non è un valore critico.
\end{de}

Supponiamo ora che $M$ ed $N$ siano due $n$-varietà orientate senza bordo, ed $F$ una mappa liscia da $M$ in $N$. Se $M$ è compatta, 
la fibra di un valore regolare è data da un numero finito di punti, e possiamo definire il grado di $F$ come la cardinalità con segno di tale fibra;
per assegnare un segno, abbiamo però bisogno della seguente definizione:

\begin{de}
 Se $F\colon M\to N$ è un diffeomorfismo locale tra varietà orientate, diciamo che $F$ \emph{preserva l'orientazione} se per ogni punto $p$
 di $M$, l'immagine di una base positivamente orientata per $T_p M$ tramite $\dF_p$, è una base positivamente orientata di $T_{F(p)}N$; in caso contrario diciamo che
 $F$ \emph{inverte l'orientazione}.
\end{de}

Possiamo assegnare ora un segno al differenziale di $F$ in un punto regolare $p\in M$; diciamo infatti che il segno del differenziale, $\sgn(\dF)_p$, è positivo e pari ad  $1$ se $F$ preserva
l'orientazione, $-1$ altrimeti. Ricordiamo ora la definizione di \emph{grado}:

\begin{de}[Grado]
 Sia $F\colon M\to N$ una mappa liscia tra due $n$-varietà orientate e senza bordo, e supponiamo che $M$ sia compatta ed $N$ connessa.
 Per ogni $y\in N$ valore regolare, definiamo \emph{grado} di $F$ in $y$ la somma con segno:
 \[
  \mathrm{deg}(F,y)=\sum_{x\in F^{-1}(y)}\mathrm{sgn}(\mathrm{dF}_x)
 \]
\end{de}

Data la definizione di grado, ricordiamo i seuenti risultati:

\begin{teo}
\begin{enumerate}
 \item Il grado $\deg(F,y)$ è una funzione localmente costante in $y\in N$, e per il teorema di Sard, è ben definita su un aperto denso di $N$.
 \item Il grado $\mathrm{deg}(F,y)$ non dipende dalla scelta del valore regolare $y$.
 
 \emph{(Poiché dunque non dipende dal valore regolare scelto, ma solo dalla mappa $F$, scriveremo $\deg F$ omettendo il valore regolare $y$)}.
 \item Se $F$ e $G$ sono isotope (di isotopia liscia) allora $\mathrm{deg}(F)=\mathrm{deg}(G)$.
\end{enumerate}
\end{teo}

Prima proseguire nella trattazione, è necessario richiamare anche la definizione di orientazione per varietà a bordo; se $M$ è una varietà con bordo,
e $p$ è un punto di bordo, possiamo distinguere in $T_p M$ tre tipi di vettori tangenti: ci sono i vettori tangenti al bordo, ovvero i vettori
tangenti in $T_p \partial M$, i vettori esterni (ovvero con componente normale esterna non nulla), e i vettori interni (a componente normale interna non nulla). 
Ogni orientazione per $M$ determina un'orientazione per $\partial M$; infatti
 se $M$ ha dimensione almeno $2$, e $p \in \partial M$, scegliamo una base positivamente orientata $(v_1,\dots,v_n)\in T_p M$, in modo che i vettori
 $v_2,\dots,v_n$ siano tangenti al bordo e $v_1$ sia un vettore esterno. Allora diamo a $M$ l'orientazione di 
 $(v_2,\dots,v_n)$. Se la dimensione di $M$ è invece $1$, ad ogni punto di bordo $x$ assegnamo orientazione $+1$ se il vettore tangente in $x$
 è positivamente orientato, $-1$ altrimenti.

Concludiamo questa sezione introduttiva con una condizione necessaria alla nullità del grado, risultato che sarà importante ai fini della definizione di indice di un campo vettoriale:

\begin{lemma}[Lemma di estensione]
 Sia $X=X^{n+1}$ una varietà compatta, orientata, con bordo non vuoto. Se indichiamo con $M$ tale bordo, questo risulta essere una $n$-varietà compatta, che consideriamo orientata con l'orientazione indotta da $X$.
 
 Sia $f\colon M\to N$ un'applicazione differenziabile a valori in $N$ $n$-varietà connessa e orientabile; se $f$ si estende ad una mappa liscia $F\colon X\to N$, con
 $F|_M=f$, allora $\deg(f;y)=0$ per $y\in N$ valore regolare.
\end{lemma} 

Per la dimostrazione è utile richiamare il seguente:

 \begin{lemma}
  Sia $F\colon M^m\to N^n$ una mappa differenziabile, dove $M$ è una varietà con bordo e $m>n$. Supponiamo che $y\in N$ sia un valore regolare sia per $F$
  che per $F|_{\partial M}$; allora $F^{-1}(y)$ è una $(m-n)$-sottovarietà con bordo di $M$, e il bordo $\partial (F^{-1}(y))$
  coincide con l'intersezione di $F^{-1}(y)$ con il bordo di $M$.
 \end{lemma}

Possiamo ora procedere con la dimostrazione del Lemma di estensione:

\begin{proof}
 Supponiamo prima che $y\in N$ sia un valore regolare sia per $f$ che per l'estensione  $F$. Per il lemma precedente sappiamo che $F^{-1}(y)$ 
 è una $1$-sottovarietà con bordo di $X$ con $\partial (F^{-1}(y))=F^{-1}(y)\cap M$; essendo un chiuso in un compatto, è un'unione finita
 di archi e circonferenze in $X$, e i punti di bordo per tali archi sono gli unici punti della controimmagine $F^{-1}(y)$ appartenenti ad $M$.
 
 Sia $A\subseteq F^{-1}(y)$ uno di tali archi, e chiamiamo $a$ e $b$ i suoi due punti di bordo. Se mostriamo che
 \[
  \sgn(\mathrm{d}f_a)+\sgn(\mathrm{d}f_b)=0,
 \]
 allora sommando su tutti gli archi $A_i$, che sono un numero finito, si ottiene
  \[
  \mathrm{deg}(f,y)=\sum_{x\in f^{-1}(y)}\mathrm{sgn}(\mathrm{df}_x)=\sum_{A_i} \sgn(\mathrm{d}f_{a_i})+\sgn(\mathrm{d}f_{b_i})=0
 \]
 e quindi la tesi nel caso in cui $y$ sia un valore regolare per $f$ ed $F$.
 
 Per provare l'uguaglianza, parametrizziamo l'arco $A$ con la mappa $\alpha\colon[0,1]\to X$, in modo che $\alpha$ sia un'immersione (ci serve avere $\alpha'\ne 0$).
 Per ogni punto $\alpha(t)=x\in A$ indichiamo lo spazio tangente in $x$ ad $A$ con $T_x A$, e lo identifichiamo con un sottospazio lineare di $T_x X$ tramite 
 l'immersione $\alpha$; possiamo allora scegliere, lungo $\alpha$, $n$ vettori tangenti  $v_1(t),\dots,v_{n}(t)$ tali che $v_i(0)$ e $v_i(1)$
 siano vettori tangenti di $T_{\alpha(0)}M$, $T_{\alpha(1)}M$ per ogni $i$, e tali che, per ogni $t\in[0,1]$, $B(t)=\{\alpha'(t),v_1(t),\dots,v_{n}(t)\}$
 sia una base di $T_{\alpha(t)}X$ orientata positivamente. Osserviamo che ciò ha senso, in quanto $X$ è una varietà orientata, e poiché
 $\alpha$ è un'immersione ha differenziale non nullo in ogni punto, dunque $\alpha'(t)$ è effettivamente un vettore non nullo; infine, data la base
 $B(t)$ in un punto $\alpha(t)$, per trasporto parallelo si ottiene l'esistenza e la differenziabilità dei vettori $v_i(t)$ in ogni punto di $A$.
 
 Poiché $y$ era un valore regolare, i vettori $\{dF_{\alpha(t)}(\alpha'(t)),dF_{\alpha(t)}(v_1(t)),\dots,dF_{\alpha(t)}(v_n(t))\}$ generano
 lo spazio tangente $T_y N$ per ogni $t$; inoltre $dF_{\alpha(t)}(\alpha'(t))=0$, e quindi 
 \[
  \{dF_{\alpha(t)}(v_1(t)),\dots,dF_{\alpha(t)}(v_n(t))\}
 \]
dà una base per $T_y N$ per ogni $t\in [0,1]$.

Per costruzione, la scelta di $\{\alpha'(t),v_1(t),\dots,v_n(t)\}$ dà orientazioni coerenti lungo $A$; inoltre sia $\{dF_{\alpha(0)}(v_1(0)),\dots,dF_{\alpha(0)}(v_n(0))\}$, sia $\{dF_{\alpha(1)}(v_1(1)),\dots,dF_{\alpha(1)}(v_n(1))\}$
danno la stessa orientazione di $T_y N$. Tuttavia, notiamo che il vettore $\alpha'(0)$ punta verso l'interno di $X$, mentre il vettore
$\alpha'(1)$ verso l'esterno; dunque la base $\{v_1(1),\dots,v_n(1)\}$ ha l'orientazione coerente con quella di $M$ indotta da $X$, mentre $\{v_1(0),\dots,v_n(0)\}$
ha quella opposta. Di conseguenza, come richiesto, $df_{\alpha(0)}$ e $df_{\alpha(1)}$ hanno segno discorde rispetto all'orientazione fissata di $N$.

Resta il caso in cui $y_0$ è un valore regolare per $f$ ma non per l'estensione $F$; in tal caso, usando il fatto che il grado è una funzione localmente costante in $y$,
si ottiene (per il teorema di Sard) l'esistenza in un opportuno intorno $U$ di $y_0$ di un punto $y$ regolare sia per $f$ che per $F$, e ciò conclude
la dimostrazione.
\end{proof}

\section{Indice di un campo vettoriale}

Ricordiamo che un campo vettoriale $X$ su una varietà $M$ è una sezione del fibrato tangente, ovvero una mappa $C^{\infty}$ $X\colon M \to TM$
tale che per ogni $p\in M$ il vettore $X(p)$ appariene a $T_p X$. 

Siano ora $F\colon M\to N$ una mappa liscia tra varietà, e $X$ un campo vettoriale su $M$; allora per ogni punto $p$ di $M$ possiamo
considerare il vettore tangente
$\mathrm{dF}_p(X_p)$ in $\mathrm{T}_{F(p)} \mathrm{N}$, ottenuto applicando il differenziale di $F$ al vettore $X_p$.

\begin{oss}
 Tale assegnamento non dà, in generale, un campo vettoriale su $N$. Ad esempio, se $F$ non è surgettiva, non si ha un modo univoco per scegliere
 un vettore per punti $q$ di $N$ che non appartengono a $F(M)$. Analogamente, se $F$ non è iniettiva, allora nell'immagine dei punti di non iniettività
 vi saranno più vettori determinati dal differenziale di $F$.
\end{oss}

\begin{de}
 Se $F\colon M\to N$ è una mappa liscia e $X$, $Y$ sono campi vettoriali definiti rispettivamente su $M$ ed $N$, tali che 
 $\mathrm{dF}_p(X_p)=Y_{F(p)}$ per ogni $p\in M$, allora diciamo che $X$ e $Y$ sono $F$-\emph{correlati}.
\end{de}

In generale, per quanto commentato, se $X$ è un campo su $M$, ed $F\colon M \to N$ è una funzione differenziabile, non è detto che esista un campo vettoriale su $N$
$F$-correlato ad $X$; tuttavia, nel caso in cui $F$ risulta essere un diffeomorfismo, allora un tale $Y$ esiste ed è unico. Infatti vale la seguente:
\begin{prop}\label{diffeo}
 Sia $F\colon M\to N$ un diffeomorfismo. Allora per ogni $X$ campo vettoriale su $M$ esiste un unico campo vettoriale $Y$ su $N$ $F$-correlato a $X$.
\end{prop}

\begin{proof}
 Se definiamo
 \[
  Y_q=\mathrm{dF}_{F^{-1}(q)}(X_{F^{-1}(q)})
 \]
per ogni $q\in N$, il campo che cerchiamo è certamente unico. Mostriamo allora che una mappa $Y$ così definita sia davvero un campo vettoriale. 
Vediamo infatti che si ha:
 \begin{equation*}\begin{CD}
 N @>{F^{-1}}>> M @>{X}>> \mathrm{TM} @>{\mathrm{dF}}>> \mathrm{TN}
\end{CD}\end{equation*}
e dunque $Y$ è la sezione cercata.
\end{proof}

Possiamo ora definire il concetto di indice per un campo vettoriale. Cominciamo, come di consueto, dal caso di aperti in $\R^n$.

Siano $\Omega\subseteq\R^n$ un aperto, e $V\colon \Omega \to \R^n$ un campo vettoriale con uno zero isolato  $z\in \Omega$. 
Indichiamo con $Z$ l'insieme degli zeri di $V$, con $B(z,\e)$ la palla di centro $z$ e raggio $\e$, e con $S(z,\e)$ la sfera di centro $z$
e raggio $\e$. Allora, se $\overline{B(z,\e)}\cap Z= \{z\}$, è ben definito su $S(z,\e)$ il campo vettoriale normalizzato
\[
 \overline{V}(x)=\frac{V(x)}{||V(x)||}.
\]
Osserviamo che $S(z,\e)$ è una varietà compatta ed orientata da $B(z,\e)$, dunque ha senso dare la seguente definizione:

\begin{de}
 Chiamiamo \emph{indice} del campo vettoriale $V$ nello zero $z$, e lo indichiamo con $\iota_V(z)$, il grado della mappa $\overline{V} \colon S(z,\e)\to S^{n-1}$.
\end{de}

La definizione appena data, potrebbe a priori dipendere dall'intorno di $z$ scelto, ovvero dal valore di $\e$. Tuttavia, utilizzando il lemma di estensione,
possiamo vedere subito che la definizione è ben posta e non dipende dall'$\e$ scelto. Siano a questo scopo $\e_1<\e_2$ per cui 
$B(z,\e_2)\cap Z= \{z\}$, e consideriamo l'insieme $X=\{x\in \Omega\mid ||\e_1||\leq||x-z||\leq||\e_2||\}$, che eredita da $\R^n$ la struttura di varietà
con bordo orientata (non è altri che la corona sferica centrata in $z$ e di raggi $\e_1$, $\e_2$). Osserviamo inoltre che il campo vettoriale 
$\overline{V}$ è ben definito su tutto $X$, dunque, per il lemma di estensione, il grado di $\overline{V}|_{S(z,\e_1)\cup S(z,\e_2)}$ è nullo.
Osserviamo infine che le due sfere ereditano da $X$ l'orientazione opposta, e dunque 
\[
 0=\deg \overline{V}|_{S(z,\e_1)\cup S(z,\e_2)}=\deg \overline{V}|_{S(z,\e_2)}-\deg \overline{V}|_{S(z,\e_1)}
\]
da cui la buona definizione.

\begin{oss}
 La definizione di indice può esser data per ogni punto dell'aperto, non solo per gli zeri di $V$; tuttavia in questo caso, è facile notare 
 (ancora per il lemma di estensione) che l'indice è nullo.
\end{oss}

\begin{es}
 Se $V\colon \C\to\C$ è il campo vettoriale definito da $V(z)=z^n$, allora l'indice $\iota_V(0)=n$, in quanto il grado del campo
 $\overline{V}\colon S^1\to S^1$, $\overline{V}(z)=z^n$ ha grado $n$.
 
 Analogamente il campo $W(z)=\bar z ^n$ ha indice $-n$.
\end{es}

La definizione appena data,vale per aperti dello spazio euclideo; possiamo allora cercare di generalizzarla al caso di $n$-varietà. L'idea
è quella di trasportare uno zero isolato mediante carte locali, e poi ivi calcolare l'indice del campo correlato alla parametrizzazione
locale.
Tuttavia bisogna mostrare che l'indice, così definito, non cambia a meno di diffeomorfismi del dominio. 
Procediamo dunque in questa direzione, cominciando da alcuni lemmi preliminari:

\begin{lemma}[Lemma di Divisione]
 Siano $V$ un intorno convesso di $0\in \R^n$ ed $f\colon V\to \R$ una funzione differenziabile, con $f(0)=0$. Allora esistono $n$ funzioni 
 differenziabili su $V$, $g_1,\dots,g_n$, con $g_i(0)=\partial f/\partial x^i(0)$ per $i=1,\dots,n$, e tali che
 \[
  f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ig_i(x_1,\dots,x_n)
 \]
per ogni $(x_1,\dots,x_n)\in V$.
\end{lemma}

\begin{proof}
 Poiché $V$ è un intorno convesso di $0$, ed $f(0)=0$, per $(x_1,\dots,x_n)\in V$ possiamo scrivere:
 \[
  f(x_1,\dots,x_n)=\int_0^1 {d\over dt} f(tx_1,\dots,tx_n) dt=\int_0^1 \sum_{i=1}^n {\partial f\over \partial x^i} (tx_1,\dots,tx_n)x_i dt
 \]
Poniamo allora 
\[
 g_i(x_1,\dots,x_n)=\int_0^1 {\partial f\over \partial x^i} (tx_1,\dots,tx_n) dt;
\]
queste sono differenziabili su tutto $V$ e verificano le proprietà richieste.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{isotopia}
 Sia $f\colon \R^n \to \R^n$ un diffeomorfismo che preserva l'orientazione. Allora $f$ è isotopo (di isotopia liscia) all'identità.
\end{lemma}

\begin{proof}
 Possiamo assumere che $f(0)=0$; per il lemma precedente $f$ si può scrivere come somma delle funzioni $g_i$:
  \[
  f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ig_i(x_1,\dots,x_n).
 \]
Se definiamo $F\colon \R^n \times I \to \R^n$ come $F(x,t)=f(tx)/t$ per $x=(x_1,\dots,x_n)$ e $t>0$, e come $F(x,0)=\mathrm{d}f_0(x)$
per $t=0$, allora è chiaro che $F$ è liscia per $t\neq 0$, mentre per $t=0$ osserviamo che 
\[
 \mathrm{d}f_0(x)=\lim_{t\to 0}\frac{f(tx)}{t}
\]
e quindi è continua. Inoltre, applicando la scrittura di $f$ come somma delle $g_i$, si ha:
\[
 F(x,t)=\frac{f(tx)}{t}=\frac{\sum_{i=1}^n x_ig_i(tx)}{t}=x_1g_1(tx)+\dots+x_n g_n(tx)
\]
che per $t=0$ diventa
\[
 F(x,t)=x_1\frac{\partial f}{\partial x^1}(0)+\dots+x_n \frac{\partial f}{\partial x^n}(0)=\mathrm{d}f_0(x).
\]
Quindi $F$ è liscia, ed è un'isotopia tra $f$ e $\mathrm{d}f_0$; quest'ultima, infine, è un isomorfismo lineare che preserva l'orientazione, dunque
è isotopo all'identità.
\end{proof}

Possiamo ora dimostrare che l'indice è invariante per diffeomorfismi:

\begin{lemma}
 Siano $U$, $U'$ due aperti in $\R^n$, $F\colon U\to U'$ un diffeomorfismo, e sia $V$ un campo vettoriale definito su $U$. Se $V'$ è il corrispondente campo vettoriale su $U'$, allora l'indice di $V$
in $z$ zero isolato, è pari all'indice di $V'$ in $F(z)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
 Possiamo assumere senza perdita di generalità $F(z)=0=z$ e considerare $U$ un aperto convesso. Se $F$ preserva l'orientazione, come nel lemma precedente, possiamo costruire una
 famiglia di embedding
 \[
  F_t\colon U\to \R^n
 \]
tale che $F_0=\mathrm{id}$, $F_1=F$, ed $F_t(0)=0$ per ogni $t\in I$.

Sia $V_t=\dF_t\circ V\circ F_t^{-1}$ il campo su $F_t(U)$ $F_t$-correlato a $V$. Questi campi son tutti ben definiti e non nulli su una sfera
sufficentemente piccola centrata in $0$. Quindi $\iota_V(z)=\iota_{V_0}(0)$ deve essere uguale a quello di $V'$ in $0$.

Se $F$ non preserva l'orientazione, possiamo scriverlo come composizione di una riflessione $\sigma$ e di un diffeomorfismo
che preserva l'orientazione, $F=\sigma G$. Per quanto appena dimostrato, ci basta allora dimostrare che anche $\sigma$ preserva l'indice del campo $V$.

Ma infatti, se poniamo $V' = \mathrm{d}\sigma\circ V\circ \sigma^{-1}$, poiché $\sigma$ è lineare, $\mathrm{d}\sigma=\sigma$ e il grado di $\sigma$
è $-1$. Dunque $\iota_{V'}(0)=(-1)\iota_V(0)(-1)=\iota_V(0)$.
\end{proof}

Possiamo ora formalizzare la definizione di indice per varietà. Se $g\colon U\to M$ è una parametrizzazione locale di un intorno di $z$ in $M$,
allora l'indice di un campo vettoriale $V$ in $z$ è definito come l'indice del campo vettoriale $\mathrm{d}g^{-1}\circ V\circ g$ in $g^{-1}(z)$.
Il lemma appena dimostrato ci dice che la definizione è ben posta, e non dipende dalla carta scelta. Possiamo allora enunciare il teorema
di Poincaré-Hopf:

\begin{teo}
 Sia $V$ un campo vettoriale di zeri isolati su una varietà compatta $M$; se $M$ ha bordo non vuoto supporremo sempre che il campo vettoriale
 punti verso l'esterno in tutti i punti di bordo. Allora la somma degli indici di $V$ negli zeri isolati uguaglia la caratteristica di Eulero della varietà, ovvero
 \[
  \sum_{z\in Z}\iota_V(z)=\chi(M).
 \]
\end{teo}

La dimostrazione del teorema consisterà di più passi; cominciamo mostrando che la somma $\sum_{z\in Z}\iota_V(z)$ non dipende dal campo
vettoriale scelto, e per farlo introdurremo la cosiddetta "mappa di Gauss".

\section{Mappa di Gauss}

Consideriamo una $n$-varietà con bordo $M$ contenuta in $\R^n$. Allora $\partial M$ è una $(n-1)$-varietà in $\R^n$, e dunque ha senso considerare in ogni punto di bordo per $M$
 il versore normale esterno; questo, a sua volta, può essere pensato come un punto di $S^{n-1}$. Ciò porta alla definizione di mappa di Gauss:

\begin{de}
 La mappa $g\colon \partial M\to S^{n-1}$ che associa ad ogni punto $x\in M$ il versore normale esterno $N_x$, è detta \emph{mappa di Gauss}.
\end{de}

In particolare, se $M$ era una varietà compatta e orientata, l'orientazione di $M$ induce un'orientazione su $\partial M$, e risulta ben definito il grado della mappa di Gauss,
a valori nella sfera con l'orientazione standard. 

Vedremo che proprio questo grado è il tassello mancante tra la somma degli indici di un campo vettoriale, e la caratteristica di 
Eulero-Poincaré:

\begin{lemma}[Lemma di Hopf]
Sia $M$ una $n$-varietà di $\R^n$, e supponiamo che $M$ sia compatta e con bordo non vuoto. 

 Sia $V$ un campo vettoriale definito su $M$ di soli zeri isolati, e supponiamo che $V$ punti verso l'esterno lungo il bordo di $ M$.
 Allora 
 \[
  \sum_{z\in Z}\iota_V(z)=\deg(g)
 \]
e, in particolare, tale somma non dipende dal campo scelto.
\end{lemma}

Prima di cominciare la dimostrazione, facciamo un'osservazione: se $M$ è una $n$-varietà liscia, una $n$-sottovarietà compatta con bordo $D\subseteq M$
è detto \emph{dominio regolare in $M$}; un'orientazione su $M$ dà immediatamente un'orientazione per $D$, ad esempio restringendo una $n$-forma
d'orientazione a $D$. Esempi di questo tipo sono la palla chiusa in $\R^n$ o l'emisfero superiore di $S^n$. In entrambi i casi la sottovarietà eredita
l'orientazione della varietà ambiente. Dunque, nel Lemma di Hopf, essendo $M$ una $n$-sottovarietà compatta con bordo di $\R^n$, essa è un dominio
regolare in $\R^n$, perciò automaticamente orientabile.

Ciò giustifica dunque la mancata ipotesi di orientabilità, ipotesi necessaria per utilizzare la mappa di Gauss, o il Lemma di estensione.

\begin{proof}
Osserviamo subito che, per ipotesi, il campo vettoriale $V$ ristretto a $\partial M$ non è mai nullo, in quanto diretto sempre verso l'esterno; dunque gli zeri di $V$ sono tutti contenuti nella parte interna 
di $M$. Rimuovendo da $M$ una palla di centro $z$ e raggio $\e_z$ per ogni zero isolato $z$ di $V$, otteniamo una nuova varietà compatta
  \[
      \overline{M}=M-\bigcup_{z\in Z}B(z,\e_z).
     \]
con bordo $\partial \overline{M}=\partial M \cup \bigcup_{z\in Z}S(z,\e_z)$, che è quindi un dominio regolare di $\R^n$.

Il campo vettoriale $\overline{V}=V/||V||$ ristretto a $\partial \overline{M}$ è a valori in $S^{n-1}$, e poiché è definito su tutto $\overline{M}$ (abbiamo tolto tutti i punti in cui $V$ si annullava), per il
lemma di estensione, ha grado $0$. Se $y$ è un valore regolare per $\overline{V}|_{\partial \overline{M}}$, possiamo ora scomporre la somma nella definizione di grado nella somma dei gradi nelle
varie componenti connesse:
\[
 \deg \overline{V}|_{\partial \overline{M}}=\deg \overline{V}|_{(\partial M \cup \bigcup_{z\in Z}S(z,\e_z))}=\deg \overline{V}|_{\partial M} + \sum_{z\in Z}\deg \overline{V}|_{S(z,\e_z)}.
\]
(Il grado è calcolato considerando sulle componenti connesse l'orientazione indotta da $\overline{M}$, che a sua volta eredita l'orientazione 
di $\R^n$).

Osserviamo adesso che $\overline{V}|_{\partial M}$ punta per ipotesi verso l'esterno, e per questo è isotopa a $g$ (di isotopia che ad ogni punto associa 
la proiezione sulla normale esterna), dunque $\deg \overline{V}|_{\partial M}=\deg g$. Infine, i gradi sulle altre componenti di bordo sono l'opposto dell'indice ivi calcolato,
in quanto l'orientazione indotta da $\overline{M}$ su $S(z,\e_z)$ è opposta rispetto a quella indotta da $B(z,\e_z)$, rispetto alla quale 
calcoliamo l'indice del campo vettoriale.
Dunque $\sum_{z\in Z}-\iota_V(z)+\deg(g)=0$, ovvero la tesi.
\end{proof}

\begin{es}
 Se un campo vettoriale di zeri isolati punta verso l'esterno in ogni punto di $D^2$, allora la somma degli indici è pari a 1.
\end{es}

L'indice di un campo vettoriale $V$ in uno zero isolato $z$ può essere calcolato dalle derivate prime di $V$ in $x$. Vediamo però prima
il caso di un campo vettoriale definito su un aperto $U$ di $\R^n$.
In tal caso, $V\colon U\to T\R^n\simeq \R^n\times\R^n$ si scrive come la mappa $p\mapsto (p,v(p))$; possiamo dunque pensare a $V$, più semplicemente,
come la mappa, che indichiamo ancora con $V$, definita da $p\mapsto V(p)=v(p)$.

\begin{de}
 Uno zero $z$ per $V$ è detto \emph{non degenere} se il differenziale $\mathrm{d}V_z\colon T_z U\simeq \R^n\to T_0 \R^n\simeq \R^n$ è una mappa lineare non singolare. 
\end{de}

 In particolare, se $z$ è uno zero non degenere allora $V$ è un diffeomorfismo in un intorno di $z$, e dunque questo è uno zero isolato.
 
\begin{lemma}
 Sia $x\in U$ uno zero non degenere per il campo $V$. Allora $\iota_V(x)=\pm 1$ a seconda della positività del determinante di $\mathrm{d}V_x$.
\end{lemma}

\begin{proof}
 Poiché $\mathrm{d}V_x$ è non singolare, e $\dim T_x U=\dim \R^n=n$, si ha che $V$ è un diffeomorfismo in un intorno di $x$. Allora, se $V$
 preserva l'orientazione, procedendo come nel Lemma \ref{isotopia} si ha che $V$ in tale intorno è isotopo al suo differenziale, che a sua
 volta è ancora isotopo a $\mathrm{Id}_{\R^n}$, non aggiungendo nuovi zeri. Quindi l'indice è pari ad $1$.
 
 Viceversa, se $V$ inverte l'orientazione, allora in modo simile $V$ può essere isotopato ad una riflessione, quindi l'indice è $-1$. Poiché il segno del determinante di $\mathrm{d}V_x$ è positivo se conserva l'orientazione, e negativo
 altrimenti, abbiamo la tesi.
\end{proof}

Possiamo ora estendere il lemma al caso più generale di un campo vettoriale $W$ definito su una $m$-varietà $M$ contenuta in $\R^n$.

\begin{lemma}
 Sia $x$ uno zero di $W$. Allora l'immagine di $\mathrm{d}W_x$ è contenuta in $T_xM$ e, posto $D$ il determinante della mappa lineare
 $\mathrm{d}W_x\colon T_xM\to T_xM$, se $D$ è non nullo allora $x$ è uno zero isolato, e si ha $\iota_W(x)=\sgn(D)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Per dimostrare il lemma, sia $(U,\phi)$ una carta locale centrata in $x$, e supponiamo che $\phi$ abbia coordinate $(x^1,\dots,x^m)$. Allora,
per ogni $p\in U$ la carta induce su $T_p M$ la base $\{\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^m\}$. In più, se $\pi\colon TM\to M$
è il fibrato tangente, $\phi$ induce la banalizzazione locale $\chi \colon \pi^{-1}(U)\to U\times \R^n$ data da $\chi(v)=(p,v)$ se e solo se
$v=v^1 \partial/\partial x^1+\dots v^m\partial/\partial x^m$.

Sfruttando il fatto che $M\subseteq \R^n$, possiamo identificare lo spazio tangente $T_p M$ in $p\in M$ con un sottospazio lineare dello spazio ambiente
$\R^n$; sottointenderemo questa identificazione chiamando $t_i$ i vettori di $\R^n$ relativi a $\partial/\partial x^i$.

Passiamo ora alla dimostrazione del lemma: sia $(e_1,\dots,e_m)$ una base per $\phi(U)$ e consideriamo il campo vettoriale $V$ 
$\phi$-correlato a $W$, ovvero $\mathrm{d}(\phi ^{-1})_u(V_u)=W_{\phi^{-1}(u)}$ per $u\in \phi(U)$. Se  $V=\sum_j v_je_j$, con 
$v_j\in C^{\infty}(\phi(U))$ allora
possiamo scrivere $\forall \, u\in U$ $W(\phi^{-1}(u))=\sum_i v_i(\phi^{-1}(u)) \partial/\partial x^i=\sum_i v_i(\phi^{-1}(u)) t_i$.

Il differenziale $\mathrm{d}W_p$ si scrive allora come lo jacobiano 
$(\partial ( W\circ \phi^{-1})^j/\partial x^i)$,
dove $i=1,\dots,m$ e $j=1,\dots, 2m$. Le colonne di questa matrice sono quindi le componenti del differenziale
applicato all'$i$-esimo vettore della base di $T_pM$; ma per un generico $u\in \phi(U)$ queste colonne sono date da:
 \[
  \frac{\partial ( W\circ \phi^{-1})}{\partial x^i}=\frac{\partial}{\partial x^i}\sum_j v_j t_j=
\sum_j \frac{\partial v_j}{\partial x^i}t_j + \sum_j v_j \frac{\partial t_j}{\partial x^i}.
\]
Se $\phi^{-1}(u)$ è uno zero per $W$, la somma si riduce a $\sum_j \frac{\partial v_j}{\partial x^i}t_j \in T_{\phi^{-1}(u)}M$
e dunque $\mathrm{d}W_x$ mappa $T_xM$ in sé. Il determinante di questa mappa è il determinante dello jacobiano $\frac{\partial v_j}{\partial x^i}$,
che chiamiamo $D$. Dal lemma precedente, si ha dunque che, se $D\neq0$, $\sgn(D)=\iota_{V}(\phi(p))$. Ciò conclude la dimostrazione.
\end{proof}

Si è visto, mediante il Lemma di Hopf, che se $M^m\subseteq \R^m$ è una varietà compatta, orientata e a bordo non vuoto, allora la somma degli indici
di un qualunque campo vettoriale (con zeri isolati e che punti verso l'esterno in $\partial M$) è pari al grado della mappa di Gauss.
Grazie ai lemmi precedenti, possiamo generalizzare questo risultato a varietà compatte e senza bordo; supporremo però che i campi vettoriali
da considerare abbiano tutti gli zeri isolati e non degeneri. A questo scopo, introduciamo la notazione $N_{\e}$ per indicare l'intorno
tubulare chiuso di $M^m\subseteq \R^n$ dato da:
\[
 N_{\e}=\{x\in \R^n\mid \exists y \in M : ||x-y||\leq \e\}.
\]
Dal teorema di esistenza dell'intorno tubulare, deriva il fatto che, se $\e$ è abbastanza piccolo, $N_{\e}$ è una $n$-varietà con bordo di $\R^n$, cui possiamo dunque applicare il Lemma di Hopf.

Dato il Lemma, possiamo estendere la definizione di non degenerità anche alle varietà; se infatti $z$ è uno zero per il campo vettoriale
$X$ definito su $M$, il suo differenziale dà un endomorfismo dello spazio tangente $T_xM$. Diciamo allora che $z$ è uno \emph{zero non degenere}
per $X$ se $\mathrm{d}X_z\colon T_zM\to T_zM$ è non singolare

\begin{teo}\label{teo}
 Sia $M\subseteq \R^n$ una $m$-varietà compatta e senza bordo. Allora per ogni campo vettoriale $X\colon M\to TM$ di zeri non degeneri, la somma degli
 indici $\sum_{z\in Z} \iota_X(z)$ è pari al grado della mappa di Gauss.
\end{teo}

Prima di cominciare la dimostrazione del teorema, facciamo delle brevi osservazioni, a parire dalla costruzione di $N_{\e}$: per ogni punto 
$p\in M$ si considera lo spazio normale $N_p$, e poiché $M\subseteq \R^n$ è una sottovarietà, possiamo identificare $N_p$ con il sottospazio
affine $p+\R^{n-m}$, complemento ortogonale di $T_p M$ in $\R^n$. Dopo questa identificazione, consideriamo l'insieme dei vettori in $N_p$
di norma non maggiore di $\e$. Se dunque $\e$ è abbastanza piccolo, $N_{\e}$ risulta essere una varietà con bordo dato dal sottoinsieme di 
vettori di norma proprio $\e$. È chiaro dunque, che ad ogni punto $x\in N_{\e}$, possiamo associare l'unico punto $p\in M$ tale che $x\in N_{p}$
e $||x-p||\leq \e$. Chiamiamo  $r(x)$ tale proiezione che, poiché restrizione della proiezione definita sul fibrato normale, risulta essere
$C^{\infty}$. Infine è utile osservare, ai fini della dimostrazione, che il vettore $x-r(x)$, in quanto vettore nello spazio normale $N_{r(x)}$,
è ortogonale allo spazio tangente $T_{r(x)}M$.

\begin{proof}
 Consideriamo, come premesso, l'intorno tubulare chiuso $N_{\e}$, e per ogni $x\in N_{\e}$ chiamiamo $r(X)$ la proiezione sopra definitita.
 
 Poniamo $\phi\colon N_{\e}\to \R$ la mappa $\phi(x)=||x-r(x)||^2$ il cui gradiente (usiamo qui il fatto che $N_{\e}\subseteq \R^n$)
 è dato da $\mathrm{grad} \phi=2(x-r(x))$. Ricordiamo che $x-r(x)$ è ortogonale allo spazio tangente $T_{r(x)}M$, e quindi, per $x\in \partial
 N_{\e}$, si ha:
 \[
  g(x)=\frac{\mathrm{grad} \phi(x)}{||\mathrm{grad} \phi(x)||}=\frac{2(x-r(x))}{||2(x-r(x))||}=\frac{x-r(x)}{\e}.
 \]
Estendiamo $X$ ad un campo $\tilde X$ su $N_{\e}$ ponendo
\[
 \tilde X(x)=(x-r(x))+X(r(x))
\]
dove la definizione data passa per l'identificazione di $T_{r(x)}N_{\e}$ con lo spazio ambiente $\R^k$.

Il prodotto scalare $\tilde X(x)\cdot g(x)$, calcolato per $x\in \partial N_{\e}$, è pari ad $\e>0$, e dunque $\tilde X$ punta verso l'esterno di
$N_{\e}$. Per il Lemma di Hopf dunque, $\sum_{\tilde z\in \tilde Z}\iota_{\tilde X}(\tilde z)=\deg g$, dove abbiamo indicato con $\tilde Z$ gli zeri
di $\tilde X$.

Se mostriamo che $\sum_{z\in Z}\iota_X(z)=\sum_{\tilde z\in \tilde Z}\iota_{\tilde X}(\tilde z)$, abbiamo dimostrato il teorema. Per prima cosa
osserviamo che se $\tilde z$ è uno zero per $\tilde X$, allora $x-r(x)+X(r(x))=0$, e poiché i due vettori sono sempre ortogonali, deve aversi
$x-r(x)=0=X(r(x))$, ovvero $x\in M\cap Z$. Viceversa, se $x\in M$ allora $x-r(x)$ è il vettore nullo, e se $X(x)=0$ allora anche $\tilde X(x)=0$.
Quindi $X$ e $\tilde X$ hanno esattamente gli stessi zeri. 

Calcolando il differenziale di $\tilde X$ in uno di tali zeri $z$, otteniamo $\mathrm{d}\tilde X_z|_{T_z M}=\mathrm{d}X_z$ e 
$\mathrm{d}\tilde X_z|_{N_z M}=\mathrm{Id}$. Quindi il determinante di $\mathrm{d}\tilde X_z$ è pari a quello di $\mathrm{d} X_z$, e poiché
$z$ era non degenere, i due differenziali sono degli isomorfismi; $z$ risulta così essere uno zero non degenere anche per $\tilde X$, e per il
lemma precedente l'indice resta invariato, come volevasi dimostrare.
\end{proof}

\section{Teoria di Morse}

Grazie al teorema precedente, abbiamo scoperto che la somma degli indici di un campo vettoriale non degenere su una varietà compatta e senza 
bordo, è un invariante della varietà. Per legare questa somma alla caratteristica di Eulero-Poincaré ci basta dunque trovare un solo campo
vettoriale con somma degli indici pari a $\chi(M)$. Per trovarlo, richiamiamo alcuni concetti base della teoria di Morse.

Fissiamo una $m$-varietà $M$ ed una funzione differenziabile $f\colon M\to \R$. Se $p\in M$ è un punto critico per $f$ il differenziale 
$\mathrm{d}f_p$ non è surgettivo, e quindi è la mappa nulla;
ciò significa che, scelto un sistema di coordinate locali $(x^1,\dots,x^m)$ in un intorno $U$ di $p$, allora
\[
 \frac{\partial f}{\partial x^1}(p)=\dots=\frac{\partial f}{\partial x^m}(p)=0.
\]
Nelle coordinate scelte, possiamo dare la seguente definizione di non degenericità:

\begin{de}
 Un punto critico $p$ per $f$ è detto \emph{non degenere} se la matrice $H=\frac{\partial^2f}{\partial x^i\partial x^j}|_p$ è non singolare.
 Chiamiamo \emph{indice} di $f$ in $p$ il numero di autovalori negativi di $H$. Infine, chiamiamo \emph{funzione di Morse} una mappa 
 $f\colon M\to\R$ di punti critici non degeneri.
\end{de}

\begin{oss}
 Si può verificare che la definizione appena data non dipende dal sistema di coordinate scelto, e dunque la proprietà di non degenericità, e l'indice, sono ben definiti.
\end{oss}

\begin{oss}
 Parlando di campi vettoriali abbiamo dato nelle sezioni precedenti una definizione di indice, e di non degenericità per un punto $p\in M$ all'apparenza 
 molto diversa da quella appena vista; mostreremo in realtà che le definizioni date sono strettamente legate, da cui i nomi comuni.
\end{oss}

Possiamo ora enunciare il fondamentale Lemma di Morse:

\begin{lemma}[Lemma di Morse]
 Sia $p$ un punto critico non degenere  per $f\colon M\to \R$. Allora esiste un sistema di coordinate locali $(x^1,\dots,x^m)$ 
 centrato in $p$ e definito su tutto un aperto $U$,  tale che
 \[
  f=f(p)-(x^1)^2-\dots-(x^{\lambda})^2+(x^{\lambda +1})^2+\dots +(x^m)^2
 \]
valga su tutto $U$, con $\lambda$ l'indice di $f$ in $p$.
\end{lemma}

Il prossimo passo è capire il collegamento tra le funzioni di Morse e la topologia della varietà; per farlo, cominciamo richiamando i due teoremi
della teoria di Morse, e proseguendo con lo studio delle funzioni subadditive.

\begin{notaz}
 Denotiamo con $M^a$ l'insieme dei punti $x\in M$ tali che $f(x)\leq a$.
\end{notaz}

\begin{teo}
 Sia $f$ una mappa liscia a valori reali definita sulla varietà $M$. Siano $a<b$ due punti reali e supponiamo che $f^{-1}[a,b]$ sia un compatto
 che non contenga punti critici per $f$. Allora $M^a$ è diffeomorfa a $M^b$. Inoltre, $M^a$ è un retratto per deformazione di $M^b$, e 
 l'inclusione $\iota\colon M^a\to M^b$ è un'equivalenza omotopica.
\end{teo}

\begin{teo}\label{omotopia}
 Sia $f$ come nel torema precedente, e $p$ un punto critico non degenere di indice $\lambda$. Ponendo $c=f(p)$, supponiamo che $f^{-1}[c-\e,c+\e]$
 sia un compatto che non contenga punti critici per $f$ oltre a $p$. Allora, per $\e$ abbastanza piccolo, $M^{c+\e}$ ha lo stesso tipo di omotopia
 di $M^{c-\e}$ con l'attaccamento di una $\lambda$-cella $e^{\lambda}$.
\end{teo}

\begin{de}
 Sia $S\colon \mathrm{Top}\times\mathrm{Top}\to \Z $ una mappa di coppie a valori interi; diciamo che $S$ è \emph{subadditiva} se
 \[
  S(X,Z)\leq S(X,Y)+S(Y,Z) \text{  } \; \forall \; Z\subseteq Y\subseteq X \in \mathrm{Top}.
 \]
La mappa $S$ è invece detta \emph{additiva} se vale l'uguaglianza.
\end{de}

Come esempio di funzione subadditiva possiamo considerare il rango dei gruppi di (co)omologia di coppia, ovvero
\[
 R_i(X,Y):=\mathrm{rk} (H_i(X,Y;\Z)),
\]
che è definita per ogni coppia di spazi $(X,Y)$ di rango finito (il fatto che $R_i$ sia una mappa subadditiva, segue dalla successione esatta della terna).
Poiché la dimensione di uno spazio vettoriale è una funzione additiva, segue che lo è anche la caratteristica di Eulero $\chi(X,Y)=\sum_i (-1)^iR_i(X,Y)$.

\begin{lemma}
 Sia $S$ una funzione subadditiva e consideriamo gli spazi $X_0\subseteq\dots\subseteq X_n$. Allora 
 \[
  S(X_n,X_0)\leq \sum_{i=1}^n S(X_i,X_{i-1}).
 \]
Se $S$ è additiva, vale l'uguaglianza.
\end{lemma}

\begin{proof}
 Procediamo per induzione su $n$.
 
 Per $n=1$ l'uguaglianza vale banalmente, mentre per $n=2$ è la stessa definizione di (sub)additività.
 
 Supponiamo che il risultato sia vero fino ad $n-1$, dunque $S(X_{n-1},X_0)\leq \sum_{i=1}^{n-1} S(X_i,X_{i-1})$. Poiché $S$ è subadditiva,
 $S(X_n,X_0)\leq S(X_n,X_{n-1})+S(X_{n-1},X_0)\leq \sum_{i=1}^{n} S(X_i,X_{i-1})$, e la tesi è vera anche per $n$ (il caso additivo è lo stesso, con $=$ al posto di $\leq$).
\end{proof}

Dato il lemma, posto $X_0=\emptyset$, otteniamo
\[
 S(X_n):=S(X_n,X_0)\leq \sum_{i=1}^n S(X_i,X_{i-1})
\]
con l'uguaglianza se $S$ è additiva. 

Ritorniamo ora al caso di una varietà compatta $M$ e di una funzione di Morse $f\colon M \to \R$.
Se $a$ non è un valore critico, dal teorema del rango si ha che $M^a$ è una varietà con bordo (dato da $f^{-1}(a)$).
Siano allora $a_0<\dots<a_k$ valori regolari per $f$, tali che $M^{a_i}$ contenga esattamente $i$ punti critici,  $M^{a_0}=\emptyset$, e $M^{a_k}=M$.
Possiamo allora considerare l'omologia relativa
\[
 H_*(M^{a_{i}},M^{a_{i-1}}),
\]
e utilizzare i teoremi di Morse per una miglior comprensione di tali gruppi.

Utilizzando il teorema \ref{omotopia}, si ha infatti che $H_*(M^{a_{i}},M^{a_{i-1}})=H_*(M^{a_{i-1}}\cup e^{\lambda_i},M^{a_{i-1}})$, dove $\lambda_i$
è l'indice di $f$ nel punto critico tra $M^{a_{i-1}}$ e $M^{a_i}$. Usiamo ora il Teorema di escissione, che richiamiamo brevemente:

\begin{teo}[Teorema di escissione]
 Siano $A$ e $B$ sottospazi di uno spazio topologico $X$, tali che $\mathring{A}\cup \mathring{B}=X$. Allora l'inclusione $\iota\colon (B,A\cap B)\to(X,A)$ induce isomorfismi
$H_n(B,A\cap B)\to H_n(X,A)$ per ogni $n\in \mathbb{N}$.
\end{teo}

Nel nostro caso $X=M^{a_{i-1}}\cup e^{\lambda_i}$, $A=M^{a_{i-1}}$ e prendiamo come $B$ un intorno aperto di $e^{\lambda_i}$ in $X$ che si retragga su $e^{\lambda_i}$. Per escissione allora:
\[
H_*(M^{a_{i-1}}\cup e^{\lambda_i},M^{a_{i-1}})=H_*(e^{\lambda_i},M^{a_{i-1}}\cap e^{\lambda_i})=H_*(e^{\lambda_i},\partial e^{\lambda_i}).
\]
Ma questa ottenuta è proprio l'omologia della sfera $S^{\lambda_i -1}$; infatti si ha l'isomorfismo:
\[
 H_*(e^{\lambda_i},\partial e^{\lambda_i})=H_*(D^{\lambda_i},\partial D^{\lambda_i})=\tilde H_{*-1}(S^{\lambda_i-1})
\]
Infine, $\tilde H_{*-1}(S^{\lambda_i-1})$ è non nullo solo per l'indice $\lambda_i$, dove è pari a $\Z$ (e quindi di rango $1$).

Ricordiamo ora che il rango dei gruppi di omologia è una funzione subadditiva, e dunque applicando la subadditività di $R_{i}$ a $\emptyset=M^{a_0}\subseteq\dots\subseteq
M^{a_k}=M$, abbiamo:
\[
 R_{\lambda}(M)=R_{\lambda}(M,\emptyset)\leq \sum_{i=1}^k R_{\lambda}(M^{a_i},M^{a_{i-1}})=\sum_{i=1}^k \mathrm{rk} (H_{\lambda}(M^{a_i},M^{a_{i-1}}))=C_{\lambda}
\]
dove $C_{\lambda}$ è il numero di punti critici di indice $\lambda$.

Si ha di più: se prendiamo come funzione additiva proprio la caratteristica di Eulero-Poincaré $\chi$, abbiamo analogamente:
\[
 \chi(M)=\sum_{i=1}^k \chi(M^{a_i},M^{a_{i-1}})=\sum_{i=1}^k \sum_{\lambda=1}^n(-1)^{\lambda}R_{\lambda}(M^{a_i},M^{a_{i-1}})=
 \sum_{\lambda=1}^n (-1)^{\lambda}\sum_{i=1}^k R_{\lambda}(M^{a_i},M^{a_{i-1}})
\]
ovvero
\[
 \chi(M)=\sum_{\lambda=1}^n (-1)^{\lambda} C_{\lambda}
\]
(nelle uguaglianze si è usato il fatto che l'omologia di una $n$-varietà è nulla per indici maggiori di $n$, e che le somme su indici finiti si possono scambiare).

Abbiamo provato il seguente:

\begin{teo}[Disuguaglianze deboli di Morse]
 Se $C_{\lambda}$ denota il numero di punti critici di indice $\lambda$ per una funzione di Morse definita su una $n$-varietà compatta $M$, allora
 \[
  R_{\lambda}(M)\leq C_{\lambda}
 \]
e
\[
 \chi(M)=\sum_{\lambda=1}^n (-1)^{\lambda} C_{\lambda}.
\]

\end{teo}

Abbiamo così ottenuto un modo per legare la caratteristica di Eulero-Poincaré ai punti critici di una funzione di Morse; il secondo passo
è allora quello di legare la somma $\sum_{\lambda=1}^n (-1)^{\lambda} C_{\lambda}$ agli zeri di qualche campo vettoriale. Può venire allora
l'idea di sfruttare i campi gradienti legati ad ogni funzione di Morse. Ricordiamo infatti che, se $p\in M$ è un punto critico per una funzione
di Morse $f$, esiste per il Lemma di Morse una carta locale $(U,\phi)$ in cui si abbia
$f=f(p)-(x^1)^2-\dots-(x^{\lambda})^2+(x^{\lambda +1})^2+\dots +(x^m)^2$. 
Osserviamo allora che, localmente, ha senso considerare
il gradiente $\mathbb{grad} f=2(-x^1,\dots,-x^{\lambda},x^{\lambda+1},\dots,x^m)$. 

Se ciò valesse globalmente, potremmo trovare il campo vettoriale con somma degli indici pari alla caratteristica di Eulero-Poincaré cercato.
Il gradiente, come scritto sopra nell'intorno di ogni punto critico, sarebbe infatti definito su tutto $M$, così da dare un campo vettoriale, e si scriverebbe come la riflessione sulle prime
$\lambda$ coordinate, dunque di indice $(-1)^{\lambda}$. Per il teorema precedente, $\chi(M)=\sum_{\lambda=1}^n (-1)^{\lambda} C_{\lambda}$; 
sostituendo a $(-1)^{\lambda}$ l'indice del campo vettoriale $\mathrm{grad} f$ nel relativo punto critico di indice $\lambda$,
si avrebbe:
\[
 \chi(M)=\sum_{z\in Z}\iota_{\mathrm{grad}f}(z)
\]
con $Z$ l'insieme dei punti critici per $f$, ovvero gli zeri del campo $\mathrm{grad} f$.

Resta perciò da dare una scrittura globale del campo vettoriale gradiente. Per farlo, dobbiamo scegliere una metrica riemanniana $g$ sulla 
varietà $M$, e porre il campo gradiente $\mathrm{grad}f$ come l'unico campo vettoriale tale che il prodotto scalare $\mathrm{grad}f\cdot X$ tra il gradiente 
e qualsiasi altro campo vettoriale $X$ sia pari a $X(f)$. Il senso di questa definizione è che $X(f)$ rappresenta proprio la derivata direzionale
di $f$ lungo la direzione $X$; in più, scrivendo la relazione in coordinate locali, si ottiene 
\[
 \mathrm{grad}f=\sum_{i,j}g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial x^i}
\]
per cui su $\R^n$ con la metrica piatta ritroviamo il gradiente usuale. 

Il problema di questa definizione, è che il gradiente sarebbe funzione in $p$ dei coefficenti $g^{ij}$ a priori non conosciuti; inoltre la comparsa
di tali coefficienti non permetterebbe di presentare ancora il gradiente, nelle carte date dal Lemma di Morse, come $\mathrm{grad}f=2(-x^1,\dots,-x^{\lambda},x^{\lambda+1},\dots,x^m)$.
L'idea è allora quella di costruire una metrica riemanniana ad hoc, in modo da preservare queste proprietà a noi indispenzabili per la dimostrazione del Teorema di Poincaré-Hopf.

A questo scopo, fissiamo una varietà compatta $M$ ed una funzione di Morse $f$ ivi definita; osserviamo che i punti critici di $f$ sono isolati (l'hessiano di carta è non degenere) e che sono in
numero finito in quanto la varietà è compatta. Per ognuno di tali punti critici $x\in M$ possiamo considerare l'intorno coordinato $U_x$
dato dal Lemma di Morse (in cui $f$
si rappresenta come $f=f(p)-(x^1)^2-\dots-(x^{\lambda})^2+(x^{\lambda +1})^2+\dots +(x^m)^2$). Vogliamo che ogni $x$ appartenga ad una sola carta,
e a questo scopo fissiamo per ogni $x$ un numero reale $\e_x>0$ tale che $B(x,2\e_x)$ sia
una palla tutta contenuta in $U_x$, e l'intersezione a due a due di tali palle sia vuota (ciò è possibile in quanto gli zeri sono isolati). Sia ora
\[
 \overline{M}=M- \left(\bigcup_{x} B(x,2\e_x)\right).
\]
Per ogni $p\in \overline{M}$, prendiamo una carta $(U_p,\phi_p)$ che, a meno di restrizioni, possiamo supporre disgiunta dall'unione 
$\cup_x B(x,\e_x)$. L'insieme dato da tali carte, e dalle palle $B(x,2\e)$ formano un ricoprimento aperto, da cui possiamo estrarre un sottoricoprimento
finito. Osserviamo che, poiché ogni $x$ appartiene esclusivamente all'aperto $B(x,2\e)$, questi ultimi fanno sicuramente parte del sottoricoprimento considerato, 
e, come richiesto, $f$ si scrive come volevamo in tutto $B(x,\e_x)$. 

Passiamo ora alla realizzazione del campo vettoriale gradiente: dato l'atlante finito appena costruito, diciamo $U_1,\dots,U_k$, possiamo considerare la partizione dell'unità a lui
associata $\{\rho_i\}$; su ciascun aperto $U_i$ introduciamo la metrica piatta $g^i$ indotta dal sistema di coordinate, ovvero per $p\in U_i$
si ha $g_p^i(v,w)=\sum_j v^jw^j$, dove $v=\sum_j v^j \partial_j$ e $w=\sum_j w^j \partial_j$ sono in $T_pU_i$. Definiamo allora il
tensore metrico globale come 
\[
 g_p=\sum_{i=1}^k\rho_i(p)g_p^i \text{ } \, \forall p\in M.
\]
Con questa costruzione, $(M,g)$ diventa una metrica riemanniana; possiamo allora considerare il gradiente in funzione di questa metrica:
\[
 \mathrm{grad}f=\sum_{i,j}g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial x^i}.
\]
Il vantaggio di questa costruzione, è quello di aver lasciato su ogni intorno $B(x,\e)$ le coordinate iniziali e la metrica piatta richiesta.
Per le osservazioni già fatte, ciò ci suggerisce che siamo sulla strada giusta; procediamo dunque
con le opportune verifiche.

Prima di tutto, osserviamo che i punti critici per $f$ coincidono con gli zeri del campo gradiente, in quanto se avessimo $\mathrm{grad}f(p)=0$
allora o tutti i $g_p^{ij}$ sarebbero nulli, che non è possibile in quanto la metrica è non degenere, oppure $\frac{\partial f}{\partial x^j}(p)=0$
per ogni $j$, ovvero $p$ sarebbe un punto critico per $f$. Viceversa, ogni punto critico per $f$ è  uno zero di $\mathrm{grad}f$.

Il differenziale $\mathrm{d} (\mathrm{grad}f)_x$ in un punto critico $x$ si scrive nelle carte scelte, come già visto nelle sezioni precedenti, nella forma matriciale
$(\partial (\mathrm{grad}f)^j/\partial x^i)$, e dunque:
 \[
  \frac{\partial (\mathrm{grad}f)^j}{\partial x^i}=\frac{\partial(\pm (x^j)^2)}{\partial x^i}=\pm 2 x^j \delta_i^j .
\]
a seconda che $j\leq \lambda$ o $j>\lambda$, con $\lambda$ indice di negatività per $f$. Possiamo dunque notare che il differenziale di $f$
in queste coordinate, è rappresentato proprio dalla matrice delle derivate seconde, e poiché $f$ era di Morse, tale matrice è non singolare. Ciò implica 
che lo zero $x$ è non degenere anche per la definizione data nella sezione precedente, e che dunque l'indice di $\mathrm{grad}f$ in $x$ è pari al determinante del suo differenziale, che è  esattamente
$(-1)^{\lambda}$.

Insieme a quanto detto precedentemente, abbiamo ottenuto che ad ogni funzione di Morse possiamo associare il campo gradiente, e che tale campo è proprio
quello necessario ad ottenere l'uguaglianza cercata:
\[
 \chi(M)=\sum_{z\in Z}\iota_{\mathrm{grad}f}(z).
\]

\section{Conclusione}

Rienunciamo il teorema oggetto del seminario:

\begin{teo}[Teorema di Poincaré-Hopf]
 Sia $V$ un campo vettoriale di zeri isolati su una varietà compatta $M$; se $M$ ha bordo non vuoto supporremo sempre che il campo vettoriale
 punti verso l'esterno in tutti i punti di bordo. Allora la somma degli indici di $V$ negli zeri isolati uguaglia la caratteristica di Eulero della varietà, ovvero
 \[
  \sum_{z\in Z}\iota_V(z)=\chi(M).
 \]
\end{teo}

Per il Teorema \ref{teo}, se $M$ è una varietà compatta e senza bordo, la somma degli indici di un campo vettoriale $X$ ivi definito, e di zeri non
degeneri, è un invariante, mentre per quanto sviluppato mediante la teoria di Morse, tale somma deve essere pari alla caratteristica $\chi(M)$.
Dunque il Teorema di Poincaré-Hopf, sotto queste condizioni, è dimostrato. Per passare al caso generale di campi vettoriali con solo zeri isolati, definiti
su una varietà compatta e senza bordo, procediamo come segue.

Come di consueto, ricominciamo col considerare la situazione per aperti di $\R^k$. Sia allora $V\colon U\to \R^k$ un campo vettoriale
e supponiamo che $V$ abbia uno  zero isolato $z\in U$. Allora possiamo
prendere un $\e>0$ abbastanza piccolo tale che $\overline{B(z,2\e)}\cap Z=\{z\}$.

Sia $f\colon U\to [0,1]$ tale che $f(x)=1$ sulla palla $B(z,\e)$ e che $f(x)=0$ su $U-B(z,2\e)$. L'idea è ora quella di perturbare il campo vettoriale
di partenza in modo da rendere gli zeri del nuovo campo vettoriale non degeneri (chiaramente se $z$ era uno zero già non degenere non facciamo nulla).

Definiamo allora il nuovo campo vettoriale come
\[
 \hat V(x)=V(x)-f(x)y
\]
dove $y$ è un valore regolare per $V$ (ed esiste per il teorema di Sard). Osserviamo che il campo $\hat V$ differisce dal campo $V$ solo 
in $B(z,2\e)$.

Per ogni $x\in B(z,2\e)-B(z,\e)$, per la scelta di $\e$, si ha $V(x)\neq 0$, perciò esiste un $\delta>0$ tale che $||V(x)||>\delta$ per i punti
$x\in B(z,2\e)-B(z,\e)$ (posso infatti cercare il minimo di $||V(x)||$ al variare di $x$ nel compatto $\{x\mid \e\leq ||x-z||\leq 2\e\}$).
Possiamo dunque scegliere $y$ abbastanza piccolo tale che $0<||y||<\delta$ (un tale $y$ esiste ancora per il teorema di Sard e poiché $V$ è una funzione continua su $U$).

Con queste richieste osserviamo che tutti gli zeri del nuovo campo vettoriale sono contenuti in $B(z,\e)$; infatti se $\hat V(x)=0$, allora
\[
 V(x)-f(x)y=0 \iff ||V(x)||=||f(x)y||\leq ||y||
\]
che è impossibile se $x\in B(z,2\e)-B(z,\e)$, per la scelta di $y$. 

Inoltre, poiché $f$ è una funzione costante su tutto $B(z,\e)$, preso $z'$ uno zero per $\hat V$, si ha che
\[
 d\hat V_{z'}=d V_{z'}+ 0
\]
e poiché $V(z')=f(z')y=y$ è un valore regolare per $V$, da questa uguaglianza si ottiene che $d V_{z'}$, e quindi $d\hat V_{z'}$, è un isomorfismo.
Perciò lo zero $z'$ è non degenere.

Ciò detto, perturbando il campo vettoriale di partenza abbiamo ottenuto un campo vettoriale con tutti gli zeri non degeneri; resta da verificare che
la somma degli indici non cambia. A questo scopo, ricordiamo che l'indice $\iota_V(z)$ si calcola utilizzando il grado di $V/||V||$ sulla
sfera $S(z,2\e)$; ma su tale sfera, i campi $V$ e $\hat V$ coincidono. Se $Z'$ è invece l'insieme degli  zeri per $\hat V$, allora per il Lemma di
estensione, la somma degli indici $\sum_{z'\in Z'}\iota_{\hat V}(z')$ è pari al grado di $\hat V/||\hat V||$, e dunque il claim. Infine, per il Teorema \ref{teo} si ha $\sum_{z'\in Z'}\iota_{\hat V}(z')$
è pari al grado della mappa di Gauss. Mettendo il tutto insieme, abbiamo ottenuto l'enunciato del Teorema di Poincaré-Hopf nel caso di campi 
vettoriali definiti su aperti di $\R^n$. Come al solito, poiché ciò dimostrato è puramente locale, il teorema vale anche per varietà compatte,
e senza bordo.

Resta da considerare il caso di varietà con bordo. Il problema, in queste ipotesi, è che non possiamo riconduri propriamente al Teorema
\ref{teo}; infatti possiamo ancora immergere $M$ in qualche $\R^k$ e considerare l'intorno tubulare chiuso $N_{\e}$ in modo da estendere il campo
vettoriale $X$ a tutto $N_{\e}$, con l'estenzione che punta verso l'esterno su $\partial N_{\e}$. Tale campo vettoriale però non è $C^{\infty}$,
anzi è solo continuo negli intorni di $\partial M$. Si può però verificare che l'ipotesi di $C^{\infty}$ non è realmente necessaria, e dunque
il Teorema vale anche in queste condizioni più degeneri.

Concludiamo con alcune conseguenze:

\begin{es}
 \begin{itemize}
  \item La sfera $S^m$ ha caratteristica di Eulero-Poincaré $\chi(S^m)=1+(-1)^m$; se $m$ è pari, allora $S^m$ ha caratteristica $2$, quindi 
  la somma degli indici di qualsiasi campo vettoriale è pari a $2$. Ciò fornisce un'ulteriore dimostrazione del fatto che ogni campo vettoriale
  su $S^{2n}$ ha almeno uno zero.
  \item Ogni $m$-varietà $M$ di dimensione dispari, compatta e senza bordo ha caratteristica di Eulero-Poincaré nulla. Infatti, ogni campo vettoriale
  $X$ può essere scambiato con il suo opposto $-X$; in tal modo ogni indice è moltiplicato per $(-1)^m=-1$, e quindi
  \[
   \sum_z \iota_X(z)=\sum_z\iota_{-X} (z)=-\sum_z \iota_X(z)
  \]
ovvero $0=\sum_z \iota_X(z)=\chi(M)$.
 \item Se $M$ è parallelizzabile, ovvero ammette fibrato tangente banale, allora $M$ ha caratteristica nulla; in particolare, la caratteristica 
 di un gruppo di Lie deve essere nulla, poiché ogni gruppo di Lie è parallelizzabile.
 \end{itemize}
\end{es}

\end{document}
